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Heitzer, Johanna

Orthogonalität und beste Approximation

Orthogonality and best approximation

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Kurzfassung (Deutsch)

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Bestimmung guter Approximationen durch Entwicklung über Orthonormalbasen. Diese Methode fußt auf zentralen mathematischen Ideen, die die Grenzen der üblichen Teilgebiete überschreiten. Sie hat sich in der Mathematik der letzten Jahrzehnte als überaus tragfähig und in den Anwendungen erfolgreich erwiesen. Dies interessante Stück Mathematik dem Schulunterricht zugänglicher zu machen, ist das Ziel meiner Arbeit. Zugleich soll erfolgreiche Mathematik der letzten Jahrzehnte vermittelt und gezeigt werden, dass der Blick auf die Struktur für Erkenntnis und Anwendungen von großem Nutzen sein kann. Das Thema knüpft an Erfahrungen und Anschauung der Schüler im geometrischen Raum an. Zentrale Erkenntnis ist die Tatsache, dass man durch Lotfällen denjenigen Punkt auf einer Gerade oder Ebene erhält, der einem vorgegebenen Punkt im Raum am nächsten ist. Kommen das Wissen und die formale Fertigkeit hinzu, Orthogonalprojektionen mittels des Skalarprodukts zu berechnen, lässt sich diese Erkenntnis weit über die Grenzen der Geometrie hinaus verallgemeinern und gewinnbringend nutzen. Denn während Lote ausschließlich im anschaulichen zwei- oder dreidimensionalen Raum benötigt werden, sind gute Näherungen spätestens im Zeitalter der Datenmassen extrem gefragte Objekte der Wissenschaft und Technik. Schüler können erfahren, dass Approximationsverfahren innerhalb der Fourieranalyse von Geräuschen oder der Bildverarbeitung im JPEG-Format auf dieselbe Art vonstatten gehen wie Abstandsberechnungen im geometrischen Raum. Gemeinsame Grundlage ist die mathematische Struktur euklidischer Vektorräume. Der Begriff des Vektorraums hat sich erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts herauskristallisiert und als außerordentlich tragfähig erwiesen. Besonders wichtig waren die Übergänge zum n-dimensionalen Raum und zu Funktionenräumen, die auch bei der didaktischen Aufbereitung eine entsprechend große Rolle spielen. Als euklidisch bezeichnet man diejenigen Vektorräume, in denen ein Skalarprodukt definiert ist. Wie in der euklidischen Geometrie sind daran Begriffe wie "Länge", "Abstand" und "Orthogonalität" gekoppelt - und mit ihnen Aussagen, die der Dreiecksungleichung oder dem Satz des Pythagoras entsprechen. Deshalb können auch Verfahren wie das der Bestimmung guter Näherungen mittels Orthogonalprojektion übertragen werden. In euklidischen Vektorräumen liefert die Orthogonalprojektion auf einen Unterraum dessen beste dortige Näherung im Sinne der euklidischen Norm. Sie kann in Projektionen auf paarweise orthogonale, eindimensionale Unterräume zerlegt und deshalb durch Entwicklung über Orthonormalbasen bestimmt werden. So lauten die mathematischen Ideen im Mittelpunkt der Arbeit. Sie können zu einem allgemeinen Verfahren der systematischen Approximation oder Analyse komplizierter mathematischer Objekte ausgebaut und überall dort angewendet werden, wo die Struktur eines Vektorraums mit Skalarprodukt vorliegt und die zugehörige Norm als Maß für die Ähnlichkeit der Objekte sinnvoll ist. In groben Zügen führt die Arbeit von der gründlichen Verankerung der Begriffe und Zusammenhänge im geometrischen Raum zunächst auf einige Anwendungen mit unterschiedlich interpretierten Spaltenvektoren höherer Dimension. Bei diesen Problemen ist das Abstraktionsniveau noch überschaubar und es stehen alternative Lösungsmöglichkeiten zur Verfügung. Dadurch kann mit der übergeordneten Methode vertraut gemacht und ein Gefühl für ihr Potential vermittelt werden. Dann wird die besondere Tragweite der Interpretation von Spaltenvektoren als Wertelisten stückweise konstanter Funktionen herausgearbeitet. Behält man das Standardskalarprodukt bei, ist hier neu zu durchdenken, welche Bedeutung Orthogonalitäts- und Abstandsbegriff erhalten und welche Orthogonalbasen sich als hilfreich erweisen könnten. Im Grenzübergang führt diese Deutung auf das Produktintegral als Skalarprodukt für stückweise stetige Funktionen und die zugehörige L^2-Norm. Mit dem Übergang zu Funktionenräumen erschließt sich das Anwendungsgebiet der Signalverarbeitung, in dem die Bestimmung guter Näherungen von besonderer Brisanz ist. Als praxisrelevante Beispiele werden die Haar-Wavelet-Entwicklung zur Kompression digitaler Signale und die Fourierentwicklung zur Analyse analoger Signale ausführlich dargestellt. Sie werfen zugleich neues Licht auf die Bedeutung der geschickten Unterraumwahl und die Sonderstellung einiger Orthonormalsysteme. Im Rahmen der Arbeit wurden zu diesen Themengebieten Einstiegsbeispiele, Übungsaufgaben und interaktiv nutzbare Worksheets im Computeralgebrasystem Maple entwickelt. Außerdem wurden Experimente rund um die Verarbeitung optischer und akustischer Signale zusammengestellt, um die theoretischen Erkenntnisse mit Sinneswahrnehmungen zu verknüpfen. Theorieteil, Materialien und Experimente wurden in Workshops mit Oberstufenschülern erprobt, so dass abschließend auf die Umsetzbarkeit und mögliche Lehrplananbindungen eingegangen werden kann.

Kurzfassung (Englisch)

The topic of the present thesis is the determination of good approximations through orthonormal basis expansion. This method is based on fundamental mathematical ideas which transcend traditional boundaries between disciplines. In recent decades the method turned out to be exceptionally viable and (even commercially) effective in applications. To make this interesting mathematical topic more easily accessible for school teaching is the purpose of this work. At the same time I would like to present successful mathematics of the past decades and demonstrate that considering mathematical structure can be of great benefit for insight as well as applications. The subject builds on students' experience with and knowledge of elementary geometry. A fundamental perception is the fact that by dropping the perpendicular one finds the point on a given straight line or plane which is closest to a given point in the space. In combination with the ability to compute orthogonal projections by means of the inner product known from analytic geometry, this insight can be generalized and put to good use far beyond the boundaries of concrete geometry. While perpendicular lines are relevant only in two or three dimensional space, good approximations are in high demand in many areas of science and technology, even more so to handle mounds of data in the present era. High school students will be able to experience and verify in an exemplary manner how approximation methods in the Fourier analysis of audio signals or image processing in JPEG format proceed in the same way as distance calculations in geometric space. The common mathematical foundation is given by the structure of Euclidean vector spaces. The notion of 'vector space' in its most general form has taken shape during the second half of the 19th century and has proven to be extremely viable. Particularly important steps were the transition to n-dimensional space on the one hand and to function spaces on the other hand. These transitions in particular play a key role in the present work. Real vector spaces in which an inner product is defined are called Euclidean. As is the case in Euclidean geometry, terms such as 'length', 'distance' and 'orthogonality' are linked to the inner product, as well as facts related to the triangle inequality or the Pythagorean theorem. Therefore, one can also transfer methods such as the determination of good approximations via orthogonal projection. In Euclidian vector spaces the orthogonal projection of a point onto a subspace provides its best approximation in this subspace, in the sense of the Euclidean norm. This projection can be decomposed into projections on mutually orthogonal, one-dimensional subspaces and thus determined via orthogonal basis expansion. These mathematical ideas stand in the focus of the present work. They can be extended to a universal method of systematic approximation or analysis of complicated mathematical objects, and can be used wherever the structure of an Euclidean vector space is given and the Euclidean norm is sensible to measure the similarity of the objects. Generally speaking, the thesis starts from a solid anchoring of concepts and relationships in elementary geometry to first lead to some applications involving column vectors in R^n, n>3, with various interpretations. For such problems the level of abstraction is moderate and alternative solution methods are available. Thus they allow to familiarize with the general method and to give an impression of its potential. Next a different view of column vectors as lists of values for piecewise constant functions is presented and emphasized. Keeping the standard inner product one has to reconsider the notion of 'orthogonality' and 'distance', as well as the question which orthogonal bases could prove useful. In the limiting case this interpretation leads to an inner product of piecewise continuous functions defined by an integral, and to the associated L^2-norm. The transition to function spaces makes applications in signal processing accessible; in this area the determination of good approximations is of particular relevance. As practically important examples the compression of digital signals via Haar wavelets and the analysis of continuous signals via Fourier expansion are treated in detail. These applications also highlight the importance of choosing subspaces in a judicious manner, and the special role of certain orthogonal systems. Within the framework of the present thesis, motivating examples, exercises and interactive Maple worksheets for all the covered topics were developed. In addition, a collection of experiments concerning the processing of optic and acoustic signals enables students to link the theoretical findings to auditory and visual perception. Theory presentation, computer materials and experiments were tested in workshops with high school students. A discussion of practicability in class and possible curriculum connections concludes the thesis.

SWD-Schlagwörter: Vektorraum , Euklidischer Vektorraum , Iteration , L2-Approximation , Beste-Approximation-Methode , Diskrete Approximation , Approximation , Approximationsalgorithmus , Beste Approximation , Mathematikunterricht , Didaktik , Angewandte Mathematik
Freie Schlagwörter (deutsch): Multiskalenanalyse , Orthogonalprojektion , Fourieranalyse , Bildverarbeitung , Oberstufe
Freie Schlagwörter (englisch): multiresolution analysis , orthogonal projection , fourier analysis , image processing , highschool
Institut: Lehrstuhl A für Mathematik [114110]
Fakultät: 01 Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
Hochschule: RWTH Aachen
DDC-Sachgruppe: Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Walcher, Sebastian (Prof. Dr.)
Sprache: Deutsch
Tag der mündlichen Prüfung: 20.07.2010
Erstellungsjahr: 2010
Publikationsdatum: 15.11.2010

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